小テスト ／ m3-02

因数分解

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因数分解 ── 問題

基礎

  1. 2x² − 8x を因数分解したものはどれですか。　（ア 2(x² − 4x)　イ 2x(x − 8)　ウ 2x(x − 4)　エ x(2x − 8)）
  2. x² + 7x + 12 を因数分解したものはどれですか。　（ア (x + 2)(x + 6)　イ (x + 3)(x + 4)　ウ (x + 1)(x + 12)　エ (x + 7)(x + 12)）
  3. x² + 10x + 9 を (x + a)(x + b) の形に因数分解したとき、a と b のうち小さいほうを答えなさい。
  4. x² + 4x + 4 を (x + a)² または (x − a)² の形に因数分解したとき、a（正の数）を答えなさい。
  5. x² − 49 を因数分解したものはどれですか。　（ア (x − 7)²　イ (x + 7)(x − 7)　ウ (x − 49)(x + 1)　エ 因数分解できない）
  6. 因数分解した答えが正しいかどうかを確かめる方法として最も確実なものはどれですか。　（ア 展開して元の式に戻るか確かめる　イ x = 1 を代入する　ウ 係数を見比べる　エ かっこの数を数える）
  7. x² + 11x + 18 を因数分解しなさい。　（ア (x − 9)(x − 2)　イ (x − 9)(x + 2)　ウ (x + 2)(x + 9)　エ (x + 1)(x + 18)）
  8. x² − 12x + 36 を因数分解しなさい。　（ア (x − 12)(x − 6)　イ (x + 6)²　ウ (x − 6)(x + 6)　エ (x − 6)²）

標準

  1. x² + x − 12 を因数分解したものはどれですか。　（ア (x + 4)(x − 3)　イ (x − 4)(x + 3)　ウ (x + 6)(x − 2)　エ (x + 12)(x − 1)）
  2. 4x² − 9 を因数分解したものはどれですか。　（ア (4x + 3)(4x − 3)　イ (2x + 3)(2x − 3)　ウ (2x − 3)²　エ (4x − 9)(x + 1)）
  3. 2x² + 12x + 18 を因数分解したものはどれですか。　（ア 2(x + 3)²　イ (2x + 6)(x + 3)　ウ 2(x² + 6x + 9)　エ (x + 3)(2x + 6)）
  4. 3x² − 12 を因数分解したものはどれですか。　（ア 3(x² − 4)　イ 3(x + 2)(x − 2)　ウ (3x + 12)(x − 1)　エ 3(x − 2)²）
  5. 因数分解を利用して 58² − 21² を計算しなさい。
  6. 因数分解の手順として正しい順番はどれですか。　（ア 公式を試す → 共通因数をくくる　イ 共通因数をくくる → 公式を試す → 展開して確かめる　ウ 展開する → 公式を試す　エ 2 数を探す → 共通因数をくくる）
  7. 25x² − 1 を因数分解しなさい。　（ア (5x − 1)(5x + 1)　イ (5x + 1)²　ウ (x − 1)(25x + 1)　エ (5x − 1)²）
  8. 4x² − 4x − 48 を因数分解しなさい。　（ア 4(x − 4)(x + 3)　イ 4(x − 1)(x + 3)　ウ 4(x − 3)(x + 4)　エ (x − 4)(x + 3)）

発展

  1. (x + 1)² − 5(x + 1) + 6 を因数分解したものはどれですか。　（ア (x − 1)(x − 2)　イ (x + 1 − 2)(x + 1 + 3)　ウ (x − 1)(x + 2)　エ (x + 3)(x + 4)）
  2. x² − y² + 2x + 1 を因数分解したものはどれですか。　（ア (x + y + 1)(x − y + 1)　イ (x + 1)² − y²　ウ (x − y)(x + y) + 2x + 1　エ (x + y)(x − y + 2) + 1）
  3. 「連続する 2 つの奇数の積に 1 を加えると 4 の倍数になる」の説明で、(2n − 1)(2n + 1) + 1 を整理した結果はどれですか。　（ア 4n²　イ 4n² + 2　ウ 4n² − 2　エ 2n²）
  4. x² + 49 について正しいものはどれですか。　（ア (x + 7)² と因数分解できる　イ (x + 7)(x − 7) と因数分解できる　ウ 中学の範囲では因数分解できない　エ (x + 49)(x + 1)）
  5. 2x² + 8x + 8 を因数分解しなさい。　（ア 2(x − 2)(x + 2)　イ 2(x − 2)²　ウ 2(x + 2)²　エ 4(x + 1)²）

因数分解 ── 解答

基礎

  1. ウ　2x(x − 4)　共通因数は 2x。2x(x − 4)。2(x² − 4x) や x(2x − 8) はくくり残しがある。
  2. イ　(x + 3)(x + 4)　かけて 12、たして 7 になる 2 数は 3 と 4。
  3. 1　かけて 9、たして 10 になる 2 数は 1 と 9。(x + 1)(x + 9)。小さいほうは 1。
  4. 2　4 = 2²、真ん中 4 = 2 × (2)。(x + 2)²。a = 2。
  5. イ　(x + 7)(x − 7)　2 乗の差 x² − 7² = (x + 7)(x − 7)。(x − 7)² は x² − 14x + 49 で別物。
  6. ア　展開して元の式に戻るか確かめる　因数分解は展開の逆。展開して元に戻れば正しい。
  7. ウ　(x + 2)(x + 9)　かけて 18、たして 11 になる 2 数は 2 と 9。(x + 2)(x + 9)。展開して確かめる。
  8. エ　(x − 6)²　36 = 6²、真ん中 −12 = 2 × (−6)。平方の公式で (x − 6)²。

標準

  1. ア　(x + 4)(x − 3)　かけて −12、たして +1 → 4 と −3。展開すると 4x − 3x = x で一致。(x − 4)(x + 3) は −x になる。
  2. イ　(2x + 3)(2x − 3)　4x² = (2x)²、9 = 3²。2 乗の差 (2x + 3)(2x − 3)。
  3. ア　2(x + 3)²　まず共通因数 2：2(x² + 6x + 9)。中は平方の公式で (x + 3)²。2(x + 3)² まで分解する。
  4. イ　3(x + 2)(x − 2)　共通因数 3 をくくり、x² − 4 = (x + 2)(x − 2)。3(x² − 4) では途中。
  5. 2923　(58 + 21)(58 − 21) = 79 × 37 = 2923。
  6. イ　共通因数をくくる → 公式を試す → 展開して確かめる　まず共通因数、次に公式、最後に展開して確認。順番を逆にすると中の公式が見えない。
  7. ア　(5x − 1)(5x + 1)　25x² = (5x)²、1 = 1²。2 乗の差で (5x − 1)(5x + 1)。
  8. ア　4(x − 4)(x + 3)　まず共通因数 4：4(x² − 1x − 12)。中を因数分解して 4(x − 4)(x + 3)。

発展

  1. ア　(x − 1)(x − 2)　x + 1 = M とおくと M² − 5M + 6 = (M − 2)(M − 3)。M を戻して (x − 1)(x − 2)。
  2. ア　(x + y + 1)(x − y + 1)　(x² + 2x + 1) − y² = (x + 1)² − y² = (x + 1 + y)(x + 1 − y)。項の組み合わせを変えて公式の形を作る。
  3. ア　4n²　(2n − 1)(2n + 1) = 4n² − 1。1 を加えて 4n² = 4 × n²。n² は整数なので 4 の倍数。
  4. ウ　中学の範囲では因数分解できない　2 乗の「和」には公式がない。(x + 7)² = x² + 14x + 49 で真ん中の項が出る。
  5. ウ　2(x + 2)²　共通因数 2 をくくる：2(x² + 4x + 4)。中は平方の公式。2(x + 2)²。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-02/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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