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小テスト ／ m3-06

二次方程式（因数分解・平方根・解の公式）

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二次方程式（因数分解・平方根・解の公式） ── 問題

基礎

  1. 二次方程式 (x + 2)(x − 7) = 0 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
  2. 二次方程式 x² − 7x + 6 = 0 の 2 つの解のうち、小さいほうを答えなさい。
  3. 二次方程式 x² = 100 の解のうち、正のほうを答えなさい。
  4. 二次方程式 (x + 1)² = 49 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
  5. 二次方程式 x² + 5x = 0 の解はどれですか。　（ア x = −5　イ x = 0, −5　ウ x = 0, 5　エ x = 5）

標準

  1. 二次方程式 x² − 1x − 1 = 0 を解の公式で解きなさい。　（ア x = 1/4 + √5/4（と ± のもう一方）　イ x = 1 + √5（と ± のもう一方）　ウ x = 1/2 + √5/2（と ± のもう一方）　エ x = −1/2 + √5/2（と ± のもう一方））
  2. 二次方程式 x² − 5x + 2 = 0 について、解の公式の √ の中（b² − 4ac）の値を求めなさい。
  3. 二次方程式 3x² + 3x − 60 = 0 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
  4. 二次方程式 (x − 3)(x − 1) = 0 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
  5. 2x² − 5x + 1 = 0 を解の公式で解くとき、a、b、c の値の組み合わせはどれですか。　（ア a = 2、b = 5、c = 1　イ a = 2、b = −5、c = 1　ウ a = 1、b = −5、c = 2　エ a = 2、b = −5、c = −1）
  6. x² − 4x − 2 = 0 の解として正しいものはどれですか。　（ア x = 4 ± √24　イ x = 2 ± √6　ウ x = (4 ± 2√6)/2 で止める　エ x = 2 ± 2√6）

発展

  1. 二次方程式 x² + ax − 10 = 0 の解の 1 つが x = 5 であるとき、a の値を求めなさい。
  2. 二次方程式 (x + 4)² + 3(x + 4) = 0 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
  3. (x + 2)(x − 1) = 4 を「x + 2 = 4 または x − 1 = 4」として解くのが誤りである理由はどれですか。　（ア かっこの順序が逆だから　イ AB = 0 のときだけ A = 0 または B = 0 がいえる。右辺が 4 では因数は決まらない　ウ 解の公式を使わなければならないから　エ x + 2 = 4 は正しいが x − 1 = 4 が誤りだから）
  4. x² + 6x + 2 = 0 を平方完成で解いた結果はどれですか。　（ア x = −3 ± √7　イ x = 3 ± √7　ウ x = −3 ± √11　エ x = −6 ± √7）

二次方程式（因数分解・平方根・解の公式） ── 解答

基礎

  1. 7　x + 2 = 0 または x − 7 = 0。x = −2, 7。大きいほうは 7。符号が逆になることに注意。
  2. 1　因数分解：(x − 1)(x − 6) = 0 → x = 1, 6。小さいほうは 1。
  3. 10　x は 100 の平方根：x = ±10。正のほうは 10。
  4. 6　x + 1 = ±7 → x = −1 ± 7 → x = 6, −8。大きいほうは 6。
  5. イ　x = 0, −5　x(x + 5) = 0 → x = 0 または x = −5。x で割ると x = 0 の解が消えるので、x でくくる。

標準

  1. ウ　x = 1/2 + √5/2（と ± のもう一方）　a = 1、b = −1、c = −1。x = (1 ± √(1 − 4 × 1 × (−1))) / 2 = (1 ± √5) / 2。1/2 + √5/2 と、± を − にしたもの。
  2. 17　a = 1、b = −5、c = 2。b² − 4ac = (−5)² − 4 × 1 × (2) = 25 − 8 = 17。c が負なら −4ac は正になる。
  3. 4　共通因数 3 でくくると 3(x² + 1x − 20) = 0 → 3(x + 5)(x − 4) = 0 → x = −5, 4。大きいほうは 4。
  4. 3　右辺が 0 でないので因数ごとに = にはできない。展開して整理：x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1, 3。大きいほうは 3。
  5. イ　a = 2、b = −5、c = 1　ax² + bx + c = 0 に合わせて、符号ごと読む。b = −5。
  6. イ　x = 2 ± √6　x = (4 ± √(16 + 8))/2 = (4 ± 2√6)/2。分子の両方の項を 2 で割って 2 ± √6。

発展

  1. −3　x = 5 を代入：25 + 5a − 10 = 0 → a = −3。もう 1 つの解は x = −2。
  2. −4　x + 4 = M とおく：M² + 3M = 0 → M(M + 3) = 0 → M = 0, −3。x = −4, −7。大きいほうは −4。
  3. イ　AB = 0 のときだけ A = 0 または B = 0 がいえる。右辺が 4 では因数は決まらない　積が 4 になる組は無数（2×2、1×4、8×0.5…）。右辺を 0 に整理してから因数分解する。
  4. ア　x = −3 ± √7　x² + 6x = −2 → 両辺に 9 をたす → (x + 3)² = 7 → x = −3 ± √7。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-06/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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