中3 数学 ／ 数と式 ／ m3-06

更新 2026-09-12

二次方程式 ── 因数分解・平方根・解の公式

この単元でできるようになること

• 二次方程式の意味と、解が 2 つ（または 1 つ）あることがわかる
• 因数分解を使って二次方程式が解ける
• 平方根の考え方（x² = a、(x + m)² = n）で解ける
• 解の公式を使って解ける
• どの解き方を使うかを、式の形から選べる

入試での位置づけ

二次方程式は計算問題として出題されやすく、また文章題（次の単元）・関数（y = ax² と直線の交点）・図形（三平方の定理）の最後の計算としても出てきます。**「まず因数分解、できなければ解の公式」**という判断ができれば、計算はこれまでの単元の組み合わせです。解の公式は「覚える」ことより「√ の中の計算を間違えない」ことが得点を分けます。

1. 二次方程式とは

まずここだけ

移項して整理すると ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）の形になる方程式を 二次方程式 といいます。

• x² − 5x + 6 = 0（a = 1、b = −5、c = 6）
• 2x² = 8（→ 2x² − 8 = 0）
• (x − 1)(x + 3) = 5（展開して整理すると x² + 2x − 8 = 0）

二次方程式の解は、ふつう 2 つあります（1 つのこともある）。x = 2 と x = 3 が解なら「x = 2, 3」と書きます。

2. 因数分解で解く

まずここだけ

AB = 0 ならば、A = 0 または B = 0。この性質を使います。

x² − 5x + 6 = 0 (x − 2)(x − 3) = 0 x − 2 = 0 または x − 3 = 0 x = 2, 3

手順

1. 右辺を 0 にする（移項して整理）
2. 左辺を因数分解する（m3-02）
3. それぞれの因数 = 0 として解く

例

右辺が 0 でないとき

(x + 2)(x − 1) = 4 これを「x + 2 = 4 または x − 1 = 4」とするのは誤り（AB = 4 からは A、B は決まらない）。展開して右辺を 0 に：x² + x − 2 − 4 = 0 → x² + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0 → x = −3, 2

よくある間違い

• (x − 2)(x − 3) = 0 の解を x = −2, −3 にする → x − 2 = 0 なので x = 2（符号が逆になる）
• x² + 5x = 0 を x で割って x + 5 = 0、x = −5 だけにする → x = 0 も解。x で割ると解が 1 つ消える。x でくくる
• 右辺が 0 でないのに因数ごとに = にする → まず右辺を 0 に

ここまでできれば十分

「右辺を 0 → 因数分解 → 各因数 = 0」で解け、x = 0 の解を落とさなければ、この単元の基本は合格です。

3. 平方根の考えで解く

まずここだけ

x² = a の形なら、x は a の平方根：x = ±√a

x² = 9 → x = ±3 x² = 5 → x = ±√5 3x² = 12 → x² = 4 → x = ±2 x² − 8 = 0 → x² = 8 → x = ±2√2

(x + m)² = n の形なら、x + m = ±√n → x = −m ± √n

(x − 3)² = 16 → x − 3 = ±4 → x = 3 ± 4 → x = 7, −1 (x + 2)² = 5 → x + 2 = ±√5 → x = −2 ± √5 (x + 1)² − 7 = 0 → (x + 1)² = 7 → x = −1 ± √7

「± の 2 つで解 2 つ」です。±√5 を書き忘れて + だけにするのが最も多いミスです。

平方完成（発展）

x² + 6x + 2 = 0 のように因数分解できない式も、(x + m)² = n の形に変形すれば解けます。 x² + 6x = −2 → 両辺に (6/2)² = 9 をたす → x² + 6x + 9 = 7 → (x + 3)² = 7 → x = −3 ± √7

「x の係数の半分の 2 乗をたす」のが平方完成で、次の解の公式はこれを一般化したものです。

4. 解の公式

まずここだけ

ax² + bx + c = 0 の解は

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

因数分解できないときの最終手段です。a、b、c を符号ごと正確に読み取って代入します。

x² + 3x + 1 = 0：a = 1、b = 3、c = 1 x = (−3 ± √(9 − 4)) / 2 = (−3 ± √5) / 2

2x² − 5x + 1 = 0：a = 2、b = −5、c = 1 x = (5 ± √(25 − 8)) / 4 = (5 ± √17) / 4

x² − 4x − 2 = 0：a = 1、b = −4、c = −2 x = (4 ± √(16 + 8)) / 2 = (4 ± √24) / 2 = (4 ± 2√6) / 2 = 2 ± √6

最後の例のように、√ の中を簡単にしてから約分するのを忘れないこと。(4 ± 2√6)/2 は 2 ± √6 まで直します。

解の公式の使い方チェック

1. 右辺を 0 にし、ax² + bx + c = 0 の形に整える
2. a、b、c を符号ごと書き出す
3. b² − 4ac を先に計算する（負になったら計算ミスを疑う。中学では負にならない）
4. √ の中を簡単にし、分子全体と分母で約分する

例：解の公式で因数分解型を解いてみる

x² − 5x + 6 = 0 → x = (5 ± √(25 − 24)) / 2 = (5 ± 1) / 2 = 3, 2。因数分解と同じ答えです。解の公式はどんな二次方程式にも使えるが、因数分解できるなら因数分解のほうが速い、という関係です。

よくある間違い

• b の符号を落とす：2x² − 5x + 1 で b = 5 とする → b = −5、−b = 5
• 2a を「2」にする（a = 2 なのに）→ 分母は 2a = 4
• √(b² − 4ac) の 4ac の符号：c が負なら −4ac はプラス（16 + 8）
• 分子の一部だけ約分する：(4 ± 2√6)/2 を 4 ± √6 にする → 分子の両方の項を 2 で割る

5. 解き方の選び方

ここまでできれば十分（の次）

判断の順序：①右辺を 0 に整理 → ②x² = a 型か？ → ③因数分解できるか？（30 秒探して見つからなければ）→ ④解の公式。

いろいろな二次方程式

(x + 3)² = 2x + 15 → x² + 6x + 9 = 2x + 15 → x² + 4x − 6 = 0 → 解の公式：x = (−4 ± √(16 + 24))/2 = (−4 ± 2√10)/2 = −2 ± √10 x² − 0.3x − 0.1 = 0 → 10 倍：10x² − 3x − 1 = 0 → 解の公式または (5x + 1)(2x − 1) = 0 → x = −1/5, 1/2 (x − 2)² − 3(x − 2) = 0 → x − 2 = M：M² − 3M = 0 → M(M − 3) = 0 → M = 0, 3 → x = 2, 5

もう一歩（発展）：解が与えられて係数を求める

「x² + ax − 12 = 0 の解の 1 つが 3 のとき、a と他の解」 x = 3 を代入：9 + 3a − 12 = 0 → a = 1。x² + x − 12 = 0 → (x + 4)(x − 3) = 0 → 他の解 x = −4。

「解を代入すると成り立つ」（m1-08 の発展と同じ）で a を出し、もとの方程式を解き直します。

6. 自己チェック

1. 右辺を 0 にしてから因数分解したか。x² + 5x = 0 で x = 0 を落としていないか
2. (x − 2)(x − 3) = 0 の解は x = 2, 3（符号が逆になる）
3. x² = a、(x + m)² = n の解は ±（2 つ）
4. 解の公式：a、b、c の符号、2a、b² − 4ac の符号、√ の中の簡単化、分子全体の約分
5. 解は 2 つ書いたか（重解は 1 つ）

7. 小テストへ

→ 小テスト（m3-06）

関連する単元

• 前提：m3-02 因数分解、m3-04 平方根、m3-05 根号の計算
• 次に進む：m3-07 二次方程式の利用
• ここで使う考え方が出てくる：m3-10 放物線と直線（交点）、m3-17 三平方の定理の利用

参考資料

• 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第3学年 A 数と式 (3) 二次方程式 ── 「二次方程式の必要性と意味及びその解の意味」「因数分解したり平方の形に変形したりして二次方程式を解くこと」「解の公式を知り、それを用いて二次方程式を解くこと」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-06/ ／ 更新 2026-09-12