中3 数学 ／ 数と式 ／ m3-01
多項式の乗法・乗法公式（展開）
この単元でできるようになること
- 単項式 × 多項式、多項式 × 多項式を分配法則で展開できる
- 乗法公式 4 つを使って、速く正確に展開できる
- 公式が使える形かどうかを見分け、置きかえて使える
- 展開した式を整理して、式の値や証明に使える
入試での位置づけ
展開は計算問題として出題されやすく、次の因数分解（m3-02）は展開の逆なので、公式を「両方向」で使えるかどうかが中3の計算全体を左右します。平方根の計算（m3-05）、二次方程式（m3-06）でも展開は毎回出てきます。公式は 4 つだけですが、「(x + 3)² を x² + 9 にする」誤りが最も多く、真ん中の項（2 倍）を落とさないことに尽きます。
1. 展開の基本 ── 分配法則
まずここだけ
単項式と多項式の積、多項式どうしの積を、かっこを外して単項式の和の形に直すことを といいます。
単項式 × 多項式：分配法則（m1-04）
2x(3x − 4) = 6x² − 8x (a + 2b) × 3a = 3a² + 6ab
多項式 × 多項式：前のかっこの各項を、後ろのかっこの全部の項にかける
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)(c + d)
↓ ↓ ↓ ↓
a×c, a×d, b×c, b×d → 4 つの項例：(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 例：(2x − 1)(x + 4) = 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4 例：(a + b)(a − b + 1) = a² − ab + a + ab − b² + b = a² − b² + a + b
項が 2 × 3 = 6 個出るときも、前の各項 × 後ろの各項を全部書き出してから同類項をまとめます。
よくある間違い
- 前の項と後ろの項を 1 つずつしかかけない（ac + bd だけ）→ すべての組み合わせ
- 符号を落とす：(2x − 1)(x + 4) の −1 × x = −x、−1 × 4 = −4
- 同類項をまとめ忘れて 4 項のまま答える
2. 乗法公式
まずここだけ
よく出る形は、公式として覚えると速く確実です。
| 公式 | 覚え方 | |
|---|---|---|
| ① | (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab | 和が x の係数、積が定数項 |
| ② | (x + a)² = x² + 2ax + a² | 2 乗・2 倍・2 乗 |
| ③ | (x − a)² = x² − 2ax + a² | 真ん中だけ − |
| ④ | (x + a)(x − a) = x² − a² | 和と差の積は 2 乗の差 |
②③は「平方の公式」、④は「和と差の積」と呼ばれます。すべて分配法則で確かめられます（②：(x + a)(x + a) = x² + ax + ax + a²）。
例
| 式 | 公式 | 答え |
|---|---|---|
| (x + 3)(x + 5) | ① a = 3, b = 5 | x² + 8x + 15 |
| (x − 2)(x + 6) | ① a = −2, b = 6 | x² + 4x − 12 |
| (x − 4)(x − 1) | ① a = −4, b = −1 | x² − 5x + 4 |
| (x + 7)² | ② | x² + 14x + 49 |
| (x − 5)² | ③ | x² − 10x + 25 |
| (x + 8)(x − 8) | ④ | x² − 64 |
| (a + 3b)² | ② a→a, a→3b | a² + 6ab + 9b² |
| (2x + 1)² | ② x→2x | 4x² + 4x + 1 |
| (3x − 2y)(3x + 2y) | ④ | 9x² − 4y² |
公式①の使い方
(x − 2)(x + 6)：a = −2、b = 6 として、和 −2 + 6 = 4、積 (−2) × 6 = −12 → x² + 4x − 12。符号もふくめて a、b と考えると、①だけで(x − 4)(x − 1) も処理できます。
②③でよくある間違い
(x + 3)² = x² + 9 は誤り。正しくは x² + 6x + 9。「2 乗すると各項が 2 乗される」と思い込むのが原因で、中3の計算で最も多いミスです。(x + 3)² = (x + 3)(x + 3) と書き直せば、真ん中の 3x + 3x = 6x が出てくる理由が見えます。
(2x + 1)² = 2x² + 4x + 1 も誤り。(2x)² = 4x²（係数も 2 乗）。
ここまでできれば十分
公式①〜④を見分けて使え、(x + 3)² の真ん中の項を落とさなければ、この単元の中心は合格です。
3. 公式が使える形に直す
ここまでできれば十分（の次）
置きかえ：共通する部分を 1 つの文字に置きかえると、公式が使えることがあります。
(a + b + 2)(a + b − 2) a + b = M とおくと (M + 2)(M − 2) = M² − 4 = (a + b)² − 4 = a² + 2ab + b² − 4
(x + y − 3)² x + y = M → (M − 3)² = M² − 6M + 9 = (x + y)² − 6(x + y) + 9 = x² + 2xy + y² − 6x − 6y + 9
共通因数を先に出す：
(2x + 4)(2x − 4) = 2(x + 2) × 2(x − 2) = 4(x² − 4) = 4x² − 16（④を直接使っても同じ）
順序を入れかえる：
(a − b)(b + a) = (a + b)(a − b) = a² − b² (−x + 3)(−x − 3) = (−x)² − 3² = x² − 9
式の計算（展開の組み合わせ）
(x + 2)² − (x + 3)(x − 3) = (x² + 4x + 4) − (x² − 9) = x² + 4x + 4 − x² + 9 = 4x + 13
2 つ目のかっこをひくときは、展開した結果全体の符号を変える（m2-01）。x² が消えて一次式になるのがこの型の定番です。
数の計算への利用（発展）
101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201 98 × 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10000 − 4 = 9996 51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499
「工夫して計算しなさい」は、公式②③④のどれかで、100 や 50 のようなキリのよい数を作る問題です。
もう一歩（発展）：文字式の証明への利用
連続する 2 つの整数の 2 乗の差は、もとの 2 数の和に等しい
n、n + 1 とすると (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1 = n + (n + 1)。よって和に等しい。
m2-03 の「文字式の利用」に、展開の道具が加わった形です。「2 乗の差」「連続する奇数の積に 1 を加える」など、展開して整理する説明問題が中3の記述の定番です。
4. 自己チェック
- 多項式 × 多項式は、すべての組み合わせをかけたか
- (x + a)² の真ん中の項 2ax を書いたか。(2x)² は 4x² か
- (x + a)(x − a) は x² − a²（真ん中がない）か
- 公式①は符号ごと a、b と見て、和と積を計算したか
- かっこをひくとき、展開結果全体の符号を変えたか
5. 小テストへ
→ 小テスト（m3-01）
関連する単元
- 前提：m2-01 単項式と多項式の計算
- 次に進む：m3-02 因数分解
- ここで使う考え方が出てくる：m3-05 根号を含む式の計算、m3-06 二次方程式
参考資料
- 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第3学年 A 数と式 (2) 簡単な多項式 ── 「単項式と多項式の乗法及び多項式を単項式で割る除法」「簡単な一次式の乗法の計算及び公式を用いる簡単な式の展開」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-01/ ／ 更新 2026-09-12