中3 数学 ／ 関数 ／ m3-10

更新 2026-09-12

放物線と直線 ── 交点・面積

この単元でできるようになること

入試での位置づけ

放物線と直線は、多くの公立高校入試で関数の大問として出題されやすい形で、(1) a を求める → (2) 直線の式 → (3) 面積 → (4) 面積に関する条件から点を求める、という構成が定番です。使う道具は m2-06〜m2-08（直線・交点・面積）と m3-06（二次方程式）、m3-09（変化の割合）の組み合わせで、新しい公式はありません。「放物線上の点は (t, at²) と表せる」ことだけが、この単元固有の技術です。

1. 放物線上の点

まずここだけ

放物線 y = ax² 上の点は、x 座標を t とおけば (t, at²) と表せます。y 座標を「a × t²」と書き換えるだけで、点が 1 つの文字で扱えるようになります。

「点 P は放物線上にあり、x 座標が t」と言われたら、まず (t, at²) と書く。これがすべての問題の出発点です。

2. 放物線と直線の交点

まずここだけ

交点 = 連立方程式の解（m2-07 と同じ）。y = ax² と y = mx + n を連立すると ax² = mx + n という二次方程式になり、解が 2 つなら交点は 2 つです。

y = x² と y = x + 2 の交点 x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2, −1 y = 4、y = 1 → 交点 (2, 4)、(−1, 1)

y = 2x² と y = −4x + 6 の交点 2x² = −4x + 6 → 2x² + 4x − 6 = 0 → x² + 2x − 3 = 0 → (x + 3)(x − 1) = 0 → x = −3, 1 → (−3, 18)、(1, 2)

放物線上の 2 点を通る直線

y = x² 上の 2 点 A(−1, 1)、B(3, 9) を通る直線 傾き = (9 − 1)/(3 − (−1)) = 2（または a(p + q) = 1 × (−1 + 3) = 2） y = 2x + b に (−1, 1) を代入：b = 3 → y = 2x + 3

傾き a(p + q)、切片 −apq という公式もあります（y = x² で p = −1、q = 3 なら傾き 2、切片 −(−3) = 3）。計算の確認に使えます。

よくある間違い

ここまでできれば十分

放物線上の点を (t, at²) と書け、交点を二次方程式で求められれば、この単元の入口は突破です。

3. 三角形の面積

まずここだけ

放物線と直線の交点 A、B と原点 O の三角形 △OAB の面積は、直線と y 軸の交点 C を使って 2 つに分けるのが定石です。

y = x² と y = x + 2 の交点 A(−1, 1)、B(2, 4)。△OAB の面積。 直線 y = x + 2 と y 軸の交点 C(0, 2)。OC = 2 を共通の底辺として △OAC：底辺 OC = 2、高さ = A の x 座標の絶対値 1 → 面積 1 △OBC：底辺 OC = 2、高さ = B の x 座標の絶対値 2 → 面積 2 △OAB = 1 + 2 = 3

        y
        │      B(2,4)
        │     /
   C(0,2)●   /
      / │  /
  A  /  │ /
 (−1,1) O─────x

公式化：△OAB = (1/2) × OC × (|A の x 座標| + |B の x 座標|) = (1/2) × 2 × (1 + 2) = 3。A と B が y 軸をはさんで反対側にあるとき、この式がそのまま使えます。

直線が y 軸を通らない場合・他の頂点の場合

頂点の 1 つが原点でないときは、座標平面で囲む長方形から余分を引くか、底辺を軸に平行にとる方法を使います。

A(−1, 1)、B(2, 4)、P(2, 0) の △ABP：底辺 BP = 4（x = 2 上の縦線）、高さ = A から x = 2 までの距離 = 3 → 面積 (1/2) × 4 × 3 = 6

よくある間違い

4. 面積に関する条件

ここまでできれば十分（の次）

型①：面積を 2 等分する直線

原点 O を通り △OAB の面積を 2 等分する直線 → AB の中点 M を通る（m2-13）。 A(−1, 1)、B(2, 4) の中点 M(1/2, 5/2)。O と M を通る直線は y = 5x。

型②：面積が等しい点を探す（等積変形）

「放物線上に点 P をとり、△PAB = △OAB としたい（P ≠ O）」 → O を通り AB に平行な直線と放物線の交点が P（底辺 AB 共通、高さが等しい。m2-13）。 AB の傾きは 1 なので、y = x と y = x² の交点：x² = x → x = 0, 1 → P(1, 1)。 （AB の反対側にも「AB から同じ距離」の平行線があり、その交点も P になり得る）

型③：△OAP = △OBP となる P（AB 上）

P が AB の中点なら、△OAP と △OBP は底辺が等しく高さ共通で面積が等しい。

型④：面積が △OAB の k 倍

「放物線上に Q をとって △QAB = 2△OAB」なら、O から AB までの距離の 2 倍離れた平行線と放物線の交点。

もう一歩（発展）：文字のまま解く

「y = ax² 上の 2 点 A(−2, 4a)、B(4, 16a) を通る直線の切片が 4 のとき、a を求めよ」 傾き a(−2 + 4) = 2a。切片 −apq = −a(−2)(4) = 8a。8a = 4 → a = 1/2。 文字 a のまま直線の式を作り、条件から a を決める。上位校で出題されやすい形です。

5. 自己チェック

  1. 放物線上の点は (t, at²) と書いたか
  2. 交点は ax² = mx + n の二次方程式で、y も求めたか
  3. △OAB は、直線と y 軸の交点で分けて、高さ = x 座標の絶対値 としたか
  4. 2 等分は中点、等積変形は平行線、で考えたか
  5. 答えの座標は放物線と直線の両方を満たすか確かめたか

6. 小テストへ

→ 小テスト（m3-10）

関連する単元

参考資料

このページの小テスト ── 間違えても、同じ型の別の問題でやり直せます。レベルを選んでそのまま始められます。
基礎から標準から発展から

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-10/ ／ 更新 2026-09-12