小テスト ／ m3-09

y=ax² の変化の割合・利用

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y=ax² の変化の割合・利用 ── 問題

基礎

  1. y = 3x² で、x の値が 4 から 6 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
  2. y = −2x² で、x の値が −4 から −3 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
  3. y = 2x² の変化の割合について正しいものはどれですか。　（ア つねに 2　イ つねに 4　ウ x の区間によって変わる　エ つねに 0）
  4. y = ax² で、x が p から q まで増加するときの変化の割合を表す式はどれですか。　（ア a(p − q)　イ a(p + q)　ウ a(q − p)　エ apq）
  5. 物を落として x 秒後に落ちた距離を y m とすると y = 5x² です。5 秒後までに落ちた距離は何 m ですか。
  6. y = 3x² で、x が 0 から 4 まで増加するときの y の増加量を求めなさい。

標準

  1. y = ax² で、x が 2 から 6 まで増加するときの変化の割合が −32 です。a の値を求めなさい。
  2. y = ax² で、x が 1 から 4 まで増加するときの変化の割合が、一次関数 y = −5x − 1 の変化の割合と等しいです。a の値を求めなさい。
  3. 物を落として x 秒後に落ちた距離を y m とすると y = 5x² です。2 秒後から 5 秒後までの平均の速さは毎秒何 m ですか。
  4. 自動車の制動距離 y m は速さ x km/時 の 2 乗に比例し、時速 20 km のとき 5 m でした。時速 80 km のときの制動距離は何 m ですか。
  5. 記述問題で「y = 2x² で x が 1 から 4 まで増加するときの変化の割合」を求めるとき、途中式として適切なものはどれですか。　（ア 2(1 + 4) = 10 とだけ書く　イ (2 × 4² − 2 × 1²) ÷ (4 − 1) = 30 ÷ 3 = 10 と書き、公式で確かめる　ウ 10 とだけ書く　エ 傾き 2 と書く）

発展

  1. 放物線 y = 2x² 上の 2 点 A（x 座標 −3）、B（x 座標 −1）を通る直線の式はどれですか。　（ア y = 8x − 6　イ y = −8x − 6　ウ y = 4x − 6　エ y = −8x + 1　undefined y = −8x + 6）
  2. y = 3x² で、x が 1 から 1 + h まで増加するときの変化の割合が 15 でした。h の値を求めなさい。
  3. y = −x² で、x が −3 から −1 まで増加するときの変化の割合はどれですか。　（ア −4　イ 4　ウ −2　エ 2）
  4. y = 5x² で表される落下で、「4 秒後から 5 秒後の 1 秒間に落ちる距離」はどれですか。　（ア 25 m　イ 45 m　ウ 125 m　エ 80 m）

y=ax² の変化の割合・利用 ── 解答

基礎

  1. 30　x = 4 で y = 48、x = 6 で y = 108。(108 − 48) ÷ (6 − 4) = 60 ÷ 2 = 30。公式 a(p + q) = 3 × 10 でも同じ。
  2. 14　x = −4 で y = −32、x = −3 で y = −18。(−18 − (−32)) ÷ (−3 − (−4)) = 14 ÷ 1 = 14。
  3. ウ　x の区間によって変わる　y = ax² の変化の割合は一定でない。区間を指定して計算する（一次関数との違い）。
  4. イ　a(p + q)　(aq² − ap²)/(q − p) = a(q + p)(q − p)/(q − p) = a(p + q)。
  5. 125　y = 5 × 5² = 125 m。
  6. 48　y の増加量 = 3 × 4² − 3 × 0² = 48 − 0 = 48。

標準

  1. −4　a(p + q) = a × (2 + 6) = 8a = −32 → a = −4。
  2. −1　一次関数の変化の割合は傾き −5。a(1 + 4) = −5 → 5a = −5 → a = −1。
  3. 35　平均の速さ = 変化の割合 = 5(2 + 5) = 35 m/秒。
  4. 80　速さが 4 倍なので距離は 4² = 16 倍。5 × 16 = 80 m。（a = 5/20² から計算しても同じ）
  5. イ　(2 × 4² − 2 × 1²) ÷ (4 − 1) = 30 ÷ 3 = 10 と書き、公式で確かめる　2 点の y から計算する式を書くのが定義どおり。公式 a(p + q) は確認用。

発展

  1. イ　y = −8x − 6　傾き = 変化の割合 = a(p + q) = 2(−3 + −1) = −8。A(−3, 18) を通るので 18 = −8 × (−3) + b → b = −6。y = −8x − 6。
  2. 3　a(p + q) = 3(1 + 1 + h) = 15 → 2 + h = 5 → h = 3。
  3. イ　4　x = −3 で y = −9、x = −1 で y = −1。(−1 − (−9))/(−1 − (−3)) = 8/2 = 4。公式 −1 × (−3 + (−1)) = 4。
  4. イ　45 m　5 × 25 − 5 × 16 = 125 − 80 = 45 m。変化の割合 5(4 + 5) = 45 と一致（x の増加量が 1 なので）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-09/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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