小テスト ／ m3-12

平行線と線分の比・中点連結定理

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平行線と線分の比・中点連結定理 ── 問題

基礎

  1. △ABC で DE ∥ BC（D は AB 上、E は AC 上）、AD = 8、DB = 4、AE = 2 のとき、EC の長さを求めなさい。
  2. △ABC で DE ∥ BC（D は AB 上、E は AC 上）、AD = 7、DB = 6、DE = 4 のとき、BC の長さを求めなさい。
  3. △ABC の辺 AB、AC の中点をそれぞれ M、N とします。BC = 24 のとき、MN の長さを求めなさい。
  4. △ABC で DE ∥ BC（D は AB 上、E は AC 上）のとき、DE : BC と等しい比はどれですか。　（ア AD : DB　イ AD : AB　ウ AE : EC　エ DB : AB）
  5. 中点連結定理の内容として正しいものはどれですか。　（ア 2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺に平行で、長さは第 3 辺と等しい　イ 2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺に平行で、長さは第 3 辺の半分　ウ 2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺に垂直　エ 2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺の 2 倍）
  6. 四角形 ABCD の各辺の中点を順に結んでできる四角形はどれですか。　（ア 長方形　イ ひし形　ウ 平行四辺形　エ 台形）

標準

  1. 3 本の平行線に 2 本の直線が交わっています。一方の直線が平行線によって 8、6 に分けられ、他方の直線の対応する部分の一方が 7 のとき、もう一方の長さを求めなさい（8 に対応する部分が 7）。
  2. △ABC で ∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とします。AB = 9、AC = 3、BC = 10 のとき、BD の長さを求めなさい。
  3. 台形 ABCD（AD ∥ BC）で、AD = 4、BC = 6 です。脚 AB、DC の中点をそれぞれ M、N とするとき、MN の長さを求めなさい。
  4. ひし形の各辺の中点を順に結んでできる四角形はどれですか。　（ア ひし形　イ 長方形　ウ 正方形　エ 平行四辺形（それ以上はいえない））
  5. △ABC で AD : DB = AE : EC（D は AB 上、E は AC 上）がわかっているとき、いえることはどれですか。　（ア DE ⊥ BC　イ DE ∥ BC　ウ DE = BC　エ D、E は中点）

発展

  1. 台形 ABCD（AD ∥ BC）の対角線の交点を O とします。AD = 3、BC = 12、AC = 9 のとき、AO の長さを求めなさい。
  2. 平行四辺形 ABCD の辺 BC 上に BE : EC = 4 : 3 となる点 E をとり、AE と対角線 BD の交点を F とします。AF : FE を最も簡単な整数の比で表したとき、AF にあたる数を答えなさい（FE にあたる数は BE の比の値）。
  3. 角の二等分線の性質 BD : DC = AB : AC を導くときに引く補助線はどれですか。　（ア C を通り AD に平行な直線（BA の延長と交わる）　イ A から BC への垂線　ウ BC の垂直二等分線　エ D を通り AB に平行な直線）
  4. 「AF : FE = 3 : 2 で AE = 10」のとき AF の長さはどれですか。　（ア 3　イ 6　ウ 4　エ 7.5）

平行線と線分の比・中点連結定理 ── 解答

基礎

  1. 1　AD : DB = AE : EC → 8 : 4 = 2 : EC → EC = 2 × 4 ÷ 8 = 1。
  2. 52/7　DE : BC = AD : AB（全体）= 7 : 13。BC = 4 × 13 ÷ 7 = 52/7。AD : DB を使わないこと。
  3. 12　中点連結定理：MN ∥ BC、MN = (1/2)BC = 12。
  4. イ　AD : AB　DE : BC は全体との比 AD : AB（△ADE ∽ △ABC の相似比）。AD : DB ではない。
  5. イ　2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺に平行で、長さは第 3 辺の半分　MN ∥ BC、MN = (1/2)BC。
  6. ウ　平行四辺形　対角線 AC を引き、中点連結定理を 2 回使うと、1 組の対辺が AC に平行で長さが AC の半分。平行四辺形。

標準

  1. 21/4　a : b = c : d → 8 : 6 = 7 : d → d = 7 × 6 ÷ 8 = 21/4。
  2. 15/2　BD : DC = AB : AC = 9 : 3。BD = BC × 9/(9 + 3) = 15/2。
  3. 5　対角線で 2 つの三角形に分け、それぞれ中点連結定理。MN = (AD + BC)/2 = (4 + 6)/2 = 5。
  4. イ　長方形　ひし形の対角線は垂直。中点を結んだ四角形の辺は対角線に平行なので、角が 90° になり長方形。
  5. イ　DE ∥ BC　線分の比が等しければ平行（性質の逆）。

発展

  1. 9/5　△AOD ∽ △COB（砂時計型）で AO : CO = AD : BC = 3 : 12。AO = AC × 3/(3 + 12) = 9/5。
  2. 7　△AFD ∽ △EFB（AD ∥ BC の錯角）。AF : EF = AD : EB = BC : BE = (4 + 3) : 4。AF にあたる数は 7。
  3. ア　C を通り AD に平行な直線（BA の延長と交わる）　C を通り AD に平行な直線と BA の延長の交点 E をとると、△ACE が二等辺三角形（AE = AC）になり、BD : DC = BA : AE。
  4. イ　6　比の合計 3 + 2 = 5 で全体を割る。AF = 10 × 3/5 = 6。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m3-12/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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