中1 数学 ／ 図形 ／ m1-15

更新 2026-09-12

円とおうぎ形 ── 弧の長さ・面積

この単元でできるようになること

• 弧・弦・接線・中心角などの言葉の意味がわかる
• 円周の長さと円の面積を、π を使って表せる
• おうぎ形の弧の長さと面積を、中心角から求められる
• 逆に、弧の長さや面積から中心角を求められる
• 「おうぎ形の面積 = (1/2) × 弧の長さ × 半径」の使いどころがわかる

入試での位置づけ

おうぎ形の弧の長さ・面積は、中1の図形で計算問題として出題されやすく、中3の「円錐の表面積」「円周角」「三平方の定理と円」でも、部品として繰り返し使います。「中心角 ÷ 360」の割合をかけるという一手を覚えれば、公式を2つ暗記する必要はありません。

1. 円の言葉

まずここだけ

        A
       ／│＼
      ／ │ ＼ ← 弧 AB（円周の一部）
    ・   │   ・
   ／    O    ＼      O：中心
  │     ／│＼   │     OA：半径
  │   ／  │  ＼ │     AB：弦
   ＼／   │   ＼／
    ・────┼────・ B
      ＼  │  ／
        ＼│／

接線の性質

円の接線は、接点を通る半径に垂直です。これは作図（接点で半径に垂線を引く）にも、中3の証明にも繰り返し使います。

2. 円周と円の面積

まずここだけ

半径 r の円で、円周率を π とすると

円周の長さ ℓ = 2πr 面積 S = πr²

π は 3.14159… と続く数で、中学からは π のまま答えます（「3.14 として計算」と指示があるときだけ数にする）。

• 半径 3 cm の円：円周 2π × 3 = 6π cm、面積 π × 3² = 9π cm²
• 半径 5 cm の円：円周 10π cm、面積 25π cm²

よくある間違い

• 円周を πr、面積を 2πr² とする → 円周 2πr、面積 πr²。「円周は直径 × π」と覚えると混同しにくい
• 直径 10 cm を半径 10 cm として計算 → 直径が与えられたら半分にする
• 9π を「9 × 3.14 = 28.26」と数にしてしまう → 指示がなければ π のまま

3. おうぎ形の弧の長さと面積

まずここだけ

円の2本の半径と弧で囲まれた図形を おうぎ形 といいます。おうぎ形は「円の一部」で、その割合は 中心角 ÷ 360° です。

だから、弧の長さも面積も、円のもの × (中心角 / 360) で求まります。

半径 r、中心角 a° のおうぎ形 弧の長さ ℓ = 2πr × a/360 面積 S = πr² × a/360

例：半径 6 cm、中心角 60° のおうぎ形

• 割合：60/360 = 1/6
• 弧の長さ：2π × 6 × 1/6 = 2π cm
• 面積：π × 6² × 1/6 = 6π cm²

「円周 12π の 1/6 が 2π」「面積 36π の 1/6 が 6π」と、円全体を出してから割合をかけると計算が見やすくなります。

例：いろいろな中心角

中心角が 180° を超えるおうぎ形（240° など）もあります。割合が 1 を超えることはありません。

よくある間違い

• 割合を 360/中心角 と逆にする → 中心角/360（1 より小さくなるはず）
• 弧の長さの式に r² を使う → 弧は長さなので 2πr（1乗）。面積は πr²（2乗）
• 割合をかけ忘れて円全体の値を答える

ここまでできれば十分

「円全体 × 中心角/360」で弧の長さと面積が出せれば、この単元の基本は合格です。

4. 逆向きに求める ── 中心角・半径

ここまでできれば十分（の次）

半径 8 cm、弧の長さ 4π cm のおうぎ形の中心角

中心角を a° とすると、2π × 8 × a/360 = 4π → 16π × a/360 = 4π → a/360 = 1/4 → a = 90°

「弧の長さ ÷ 円周 = 割合」で 4π ÷ 16π = 1/4 と考えても同じです。

中心角 120°、面積 12π cm² のおうぎ形の半径

半径 r とすると、πr² × 120/360 = 12π → πr² × 1/3 = 12π → r² = 36 → r = 6 cm（r ＞ 0）

面積を弧の長さから求める公式

おうぎ形の面積 S、弧の長さ ℓ、半径 r の間には

S = (1/2) ℓ r

が成り立ちます（三角形の面積「底辺 × 高さ ÷ 2」に似た形で、弧を底辺、半径を高さと見立てた式です）。

なぜ成り立つか：S = πr² × a/360、ℓ = 2πr × a/360 なので、S ÷ ℓ = r/2。よって S = ℓ × r/2。

使いどころ：中心角がわからず、弧の長さと半径だけわかっているとき。半径 5 cm、弧 4π cm なら S = (1/2) × 4π × 5 = 10π cm²。中心角を出さずに面積が求まります。

5. おうぎ形を含む図形

もう一歩（発展）

正方形と円が組み合わさった図形の面積は、「大きい図形 − 小さい図形」か「おうぎ形 + 三角形」に分けて求めます。

例：1辺 10 cm の正方形の中に、頂点を中心とする半径 10 cm の四分円（中心角 90° のおうぎ形）がある。正方形から四分円を除いた部分の面積は

正方形 100 − 四分円 π × 10² × 1/4 = 100 − 25π (cm²)

答えは 100 − 25π のまま（π を含む式）で構いません。「約 21.5」のように数にする必要はありません。

弧で囲まれた「葉っぱ形」（正方形の対角の頂点を中心とする2つの四分円が重なった部分）は、 2 × 四分円 − 正方形 = 2 × 25π − 100 = 50π − 100 (cm²)

「重なりの面積 = 2つの図形の和 − 全体」の考え方は、面積の問題で繰り返し使います。

6. 自己チェック

1. 円周は 2πr、面積は πr² になっているか（r の何乗か）
2. 割合は 中心角/360 で、1 以下になっているか
3. 直径が与えられたら半径に直したか
4. 答えは π のままにしたか（指示がないのに数にしていないか）

7. 小テストへ

→ 小テスト（m1-15）

関連する単元

• 前提：m1-04（分数の計算）、m1-13 平面図形
• 次に進む：m1-16 空間図形、m1-17 立体の表面積と体積（円錐の側面はおうぎ形）
• ここで使う考え方が出てくる：m3-14 円周角の定理、m3-17 三平方の定理の利用

参考資料

• 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第1学年 B 図形 (1) 平面図形 ── 「扇形の弧の長さと面積」「円の接線の性質」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m1-15/ ／ 更新 2026-09-12