中1 数学 ／ 図形 ／ m1-13
平面図形 ── 直線・角・作図
この単元でできるようになること
- 直線・線分・半直線の違いがわかり、記号（AB、∠ABC、⊥、∥）で表せる
- 垂直・平行・垂直二等分線・角の二等分線の意味がわかる
- 定規とコンパスだけで、垂直二等分線・角の二等分線・垂線が作図できる
- 作図が「なぜその手順で正しいのか」を、ひし形や二等辺三角形の性質で説明できる
入試での位置づけ
作図は多くの公立高校入試で出題されやすい分野で、「条件を満たす点を作図せよ」という形で出ます。使う作図は3つ（垂直二等分線・角の二等分線・垂線）しかなく、入試の作図問題はこの3つの組み合わせです。**「等しい距離 → 垂直二等分線」「等しい角 → 角の二等分線」**という言い換えができるかが、そのまま得点になります。
1. 直線・線分・半直線と記号
まずここだけ
| 名前 | 意味 | 記号 |
|---|---|---|
| AB | 2点 A、B を通り、両方向に限りなくのびるまっすぐな線 | 直線 AB |
| AB | 直線 AB のうち、A から B までの部分（長さがある） | 線分 AB、長さも AB |
| 半直線 AB | A を端として B の方向に限りなくのびる線 | 半直線 AB |
線分 AB の長さも AB と書きます。「AB = 5 cm」は線分 AB の長さが 5 cm という意味です。
2つの線分 AB と CD の長さが等しいことは AB = CD と書きます。
角の表し方
2つの半直線が1点から出ているときにできる図形を といい、その点を 頂点、半直線を 辺 といいます。
角は ∠ABC（頂点 B を真ん中に書く）または ∠B と表します。角の大きさも同じ記号で表し、∠ABC = 60° のように書きます。
距離
2点 A、B の は、線分 AB の長さです（2点を結ぶ最短の長さ）。 点 P と直線 ℓ の距離は、P から ℓ に引いた垂線の長さです（P から ℓ までの最短）。
よくある間違い
- 「直線 AB の長さ」と言う → 直線は限りなくのびるので長さはない。長さがあるのは線分
- ∠ABC を頂点でない点を真ん中に書く（∠BAC など）→ 頂点を真ん中
- 点と直線の距離を、斜めの線分で測る → 垂線の長さ
2. 垂直と平行
まずここだけ
2直線 AB、CD が交わってできる角が直角（90°）のとき、AB と CD は であるといい、AB ⊥ CD と書きます。一方を他方の といいます。
2直線 AB、CD が交わらないとき、AB と CD は であるといい、AB ∥ CD と書きます。
平行線の距離
平行な2直線 ℓ、m で、ℓ 上のどの点から m に垂線を引いても、その長さは同じです。この長さを 平行線の距離 といいます。「平行 ＝ 距離がどこでも同じ」という見方は、中2の「平行線と面積」（底辺が同じで高さが等しい三角形）で使います。
3. 基本の作図 ── 3つだけ
まずここだけ：作図のルール
とは、定規とコンパスだけを使って図をかくことです。
- 定規：直線を引くためだけに使う（目盛りは使わない）
- コンパス：円（弧）をかく・長さを写す
「定規で 5 cm 測って」は作図ではありません。長さはコンパスで写すものです。
作図①：垂直二等分線
線分 AB の中点を通り、AB に垂直な直線を、AB の といいます。
手順
- A を中心に、AB の半分より長い半径で弧をかく
- B を中心に、同じ半径で弧をかく
- 2つの弧の交点を P、Q とし、直線 PQ を引く
P
|
A────┼────B
|
Qなぜ正しいか：PA = PB、QA = QB（同じ半径）なので、四角形 APBQ は4辺が等しいひし形。ひし形の対角線は、互いに垂直に交わり、それぞれの中点で交わります。だから PQ は AB の垂直二等分線です。
性質（重要）：垂直二等分線上の点は、2点 A、B から等しい距離にあります。逆に、A、B から等しい距離にある点は、すべて垂直二等分線の上にあります。
作図②：角の二等分線
∠AOB を2等分する半直線を、∠AOB の といいます。
手順
- O を中心に弧をかき、辺 OA、OB との交点を C、D とする
- C、D をそれぞれ中心に、同じ半径で弧をかき、交点を P とする
- 半直線 OP を引く
A
\ C
\ ・
\ P
O・・・・・
/
/ ・
/ D
Bなぜ正しいか：OC = OD、CP = DP（同じ半径）なので、四角形 OCPD はたこ形（ひし形の仲間）で、OP は対称の軸。よって ∠COP = ∠DOP。
性質（重要）：角の二等分線上の点は、角の2辺から等しい距離にあります。
作図③：垂線
(a) 直線 ℓ 上の点 P を通る垂線
- P を中心に弧をかき、ℓ との交点を A、B とする
- A、B を中心に同じ半径で弧をかき、交点を Q とする
- 直線 PQ を引く
（P を中点とする線分 AB の垂直二等分線を作図している、と同じことです）
(b) 直線 ℓ 上にない点 P から ℓ への垂線
- P を中心に、ℓ と2点で交わる弧をかき、交点を A、B とする
- A、B を中心に同じ半径で弧をかき、交点を Q とする（P と反対側）
- 直線 PQ を引く
（こちらも、AB の垂直二等分線が P を通る、という仕組みです）
よくある間違い
- 垂直二等分線の作図で、A と B から違う半径で弧をかく → 交点が中点の真上に来ない。同じ半径
- 角の二等分線で、最初の弧の交点 C、D からの弧の半径を変える → 同じ半径
- 作図の跡（弧）を消してしまう → 入試では作図の跡を残すのが採点条件
ここまでできれば十分
3つの作図が手順どおりにでき、「垂直二等分線 ＝ 2点から等距離」「角の二等分線 ＝ 2辺から等距離」の性質が言えれば、この単元の中心はできています。
4. 入試の作図 ── 条件の言い換え
もう一歩（発展）
入試の作図問題は、「条件」を上の3つの作図に言い換える問題です。
| 問題文の条件 | 作図するもの |
|---|---|
| 2点 A、B から等しい距離にある点 | AB の垂直二等分線 |
| 線分 AB の中点 | AB の垂直二等分線と AB の交点 |
| 2辺 OA、OB から等しい距離にある点 | ∠AOB の二等分線 |
| ∠AOB を2等分する直線 | 角の二等分線 |
| 点 P から直線 ℓ に最も近い点 | P から ℓ への垂線と ℓ の交点 |
| 直線 ℓ 上にあって、A、B から等距離の点 | AB の垂直二等分線と ℓ の交点 |
| 3点 A、B、C から等しい距離にある点（外心） | AB と BC の垂直二等分線の交点 |
| 3辺から等しい距離にある点（内心） | 2つの角の二等分線の交点 |
| 45° の角 | 90°（垂線）を作ってから角の二等分線 |
| 60° の角 | 正三角形（コンパスで3辺等しい）を作る |
「等しい距離」と読んだら垂直二等分線か角の二等分線。どちらかは「点からの距離（→ 点と点 → 垂直二等分線）」か「辺からの距離（→ 角の二等分線）」かで決まります。
例：折り返し
「線分 AB を折り目として、点 P を折り返した点 P′ を作図せよ」 → 折り返すと、AB は PP′ の垂直二等分線になる。P から AB への垂線を引き、AB との交点を H として、PH = HP′ となる点 P′ をコンパスで写す。
折り返し・線対称は「折り目が垂直二等分線になる」と言い換えるのが定石です。
5. 自己チェック
- 記号 AB（線分）、∠ABC（頂点が真ん中）、⊥、∥ を正しく使ったか
- 作図でコンパスの半径を同じにしたか。定規の目盛りを使っていないか
- 作図の跡（弧）を残したか
- 問題の条件を「等距離 → どの作図か」に言い換えられたか
6. 小テストへ
→ 小テスト（m1-13）
関連する単元
- 次に進む：m1-14 図形の移動、m1-15 円とおうぎ形
- ここで使う考え方が出てくる：m2-11 二等辺三角形（垂直二等分線の性質の証明）、m3-14 円周角（円の中心の作図）
参考資料
- 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第1学年 B 図形 (1) 平面図形 ── 「角の二等分線、線分の垂直二等分線、垂線などの基本的な作図の方法」「作図を具体的な場面で活用すること」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/koko/math/m1-13/ ／ 更新 2026-09-12