数学Ⅱ 数学 ／ 指数・対数 ／ h2-09
指数の拡張・指数関数
この単元でできるようになること
- 0 乗・負の指数・分数の指数（累乗根）の意味がわかり、指数法則で計算できる
- 累乗根 ⁿ√a を a^(1/n) に直して計算できる
- y = aˣ のグラフ（a > 1 で増加、0 < a < 1 で減少）がかけ、大小比較ができる
- 指数方程式・不等式（底をそろえる、aˣ = t とおく）が解ける
- 2ˣ + 2⁻ˣ = t とおく型の最大・最小が解ける
入試での位置づけ
指数・対数は共通テスト『数学Ⅱ，数学B，数学C』で三角関数と並んで毎年出る分野です。指数は対数（h2-10）の土台で、底をそろえる・aˣ = t とおくの 2 つの型を確実に。大小比較は「底をそろえて指数を比べる」「底が 1 より大きいか小さいかで向きが変わる」がポイント。
1. 指数の拡張
まずここだけ
a > 0、m、n は整数（n > 0）とする。
| 定義 | 例 |
|---|---|
| a⁰ = 1 | 5⁰ = 1 |
| a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| a^(1/n) = ⁿ√a（n 乗すると a になる正の数） | 8^(1/3) = ³√8 = 2 |
| a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ | 8^(2/3) = (³√8)² = 4 |
指数法則（実数の指数でも成り立つ）
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
2³ × 2⁻⁵ = 2⁻² = 1/4 (2^(1/2))⁴ = 2² = 4 4^(3/2) = (2²)^(3/2) = 2³ = 8 ³√16 × ³√4 = ³√64 = 4（= 16^(1/3) × 4^(1/3) = 64^(1/3)） √(2³√2)… のような入れ子は指数に直す：2^(1/2) × 2^(1/6) = 2^(2/3)
コツ：すべて「素数の累乗」の形に直す（4 = 2²、8 = 2³、27 = 3³、√2 = 2^(1/2)）。
累乗根の性質
ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab)、ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b)、(ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)、ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a
偶数乗根は正の数だけ（√ と同じ）。奇数乗根は負の数もある（³√(−8) = −2）。
2. 指数関数のグラフ
まずここだけ
y = aˣ（a > 0、a ≠ 1）
| a > 1 | 0 < a < 1 | |
|---|---|---|
| 形 | 右上がり（増加） | 右下がり（減少） |
| 通る点 | (0, 1)、(1, a) | (0, 1)、(1, a) |
| 値域 | y > 0（x 軸が漸近線） | y > 0 |
y = (1/2)ˣ = 2⁻ˣ は y = 2ˣ を y 軸に関して対称移動したもの。
大小比較
底をそろえて指数を比べる。底が 1 より大きければ指数の大きいほうが大きい、1 より小さければ逆。
2³、4²、8^(2/3)：= 2³、2⁴、2² → 8^(2/3) < 2³ < 4² (1/3)²、(1/3)⁻¹、1：底 1/3 < 1 なので指数が小さいほど大きい → (1/3)² < 1 < (1/3)⁻¹ ³√2、√3、⁶√5：6 乗して 4、27、5 → ³√2 < ⁶√5 < √3
3. 指数方程式
ここまでできれば十分
型 1：底をそろえる
2ˣ = 8 → 2ˣ = 2³ → x = 3 4ˣ = 8 → 2²ˣ = 2³ → 2x = 3 → x = 3/2 9ˣ = 1/27 → 3²ˣ = 3⁻³ → x = −3/2 (1/2)ˣ = 4√2 → 2⁻ˣ = 2^(5/2) → x = −5/2
型 2：aˣ = t とおく（t > 0 に注意）
4ˣ − 3・2ˣ − 4 = 0 → (2ˣ)² − 3・2ˣ − 4 = 0 → t² − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0 → t = 4（t = −1 は t > 0 に反する）→ 2ˣ = 4 → x = 2
4. 指数不等式
ここまでできれば十分
底をそろえ、底が 1 より小さければ不等号の向きを変える。
2ˣ > 16 → 2ˣ > 2⁴ → x > 4 (1/3)ˣ ≧ 1/9 → (1/3)ˣ ≧ (1/3)² → x ≦ 2（底 1/3 < 1 なので向きが逆） 4ˣ − 5・2ˣ + 4 < 0 → t² − 5t + 4 < 0 → 1 < t < 4 → 1 < 2ˣ < 4 → 0 < x < 2
5. 最大・最小（発展）
もう一歩
y = 4ˣ − 2ˣ⁺¹ + 3：2ˣ = t（t > 0）→ y = t² − 2t + 3 = (t − 1)² + 2 → t = 1（x = 0）で最小値 2、最大値なし
t = 2ˣ + 2⁻ˣ とおく型：2ˣ > 0、2⁻ˣ > 0 なので相加相乗平均より t ≧ 2（等号は x = 0）。4ˣ + 4⁻ˣ = t² − 2。
相加相乗平均：a > 0、b > 0 のとき (a + b)/2 ≧ √(ab)（等号は a = b）。指数の最小値問題でよく使う。
6. よくある間違い
- a⁻ⁿ を −aⁿ にする → 1/aⁿ
- a^(m/n) の m と n を逆にする → 分母が根号の指数
- 2ˣ = t とおいたあと、t > 0 を忘れて負の解を残す
- 底が 1 より小さい不等式で向きを変え忘れる
- 2ˣ⁺¹ = 2・2ˣ（2ˣ + 1 ではない）
7. 自己チェック
- 素数の累乗に直したか
- 分数の指数は分母が根号
- 方程式：底をそろえる or aˣ = t（t > 0）
- 不等式：底 < 1 なら向きを変える
- 2ˣ⁺¹ = 2・2ˣ、4ˣ = (2ˣ)²
8. 小テストへ
→ 小テスト（h2-09）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(3) 指数関数・対数関数 ア(ア) 指数関数」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/math/h2-09/ ／ 更新 2026-09-12