高1 ／ 物理基礎 ／ pb-02
落体の運動（自由落下・鉛直投げ上げ・投げ下ろし）
この単元でできるようになること
- 重力加速度 g ＝ 9.8 m/s²（向きは鉛直下向き、物体の質量によらない）を使える
- 自由落下（v ＝ gt、y ＝ ½gt²、v² ＝ 2gy）を計算できる
- 鉛直投げ上げ（v ＝ v₀ − gt、y ＝ v₀t − ½gt²、v² − v₀² ＝ −2gy）で、最高点の高さ・到達時間・戻ってくる時間を求められる
- 鉛直投げ下ろし（v ＝ v₀ ＋ gt）を扱える
- 正の向きの取り方（上向き正／下向き正）で符号が変わることを整理して使える
入試での位置づけ
落体は等加速度直線運動（pb-01）のa ＝ g（または −g）の場合で、共通テストでは「投げ上げたボールが元の高さに戻る時間」「最高点の高さ」「2 つの物体が出会う時刻」が定番です。上向きを正にすると a ＝ −9.8という符号の処理と、「最高点で v ＝ 0」「元の高さで y ＝ 0」という条件の式化ができれば得点できます。空気抵抗は無視します。
1. 重力加速度 ── 質量によらず 9.8 m/s²
まずここだけ
- 空気抵抗がなければ、すべての物体は同じ加速度 g ≒ 9.8 m/s² で落ちる（重いものが速く落ちるわけではない）
- 向きは鉛直下向き。上向きを正にとれば a ＝ −g、下向きを正にとれば a ＝ ＋g
- 計算を簡単にするため「g ＝ 9.8 m/s²」または「g ＝ 10 m/s²」と問題文で指定される
2. 自由落下 ── 初速度 0、下向き正
まずここだけ
静かに手を放す（v₀ ＝ 0）。下向きを正として a ＝ g：
| 公式 | 内容 |
|---|---|
| v ＝ gt | t 秒後の速さ |
| y ＝ ½gt² | t 秒間の落下距離 |
| v² ＝ 2gy | y 落ちたときの速さ |
2.0 秒間の落下距離：y ＝ ½ × 9.8 × 2.0² ＝ 19.6 m、そのときの速さ v ＝ 9.8 × 2.0 ＝ 19.6 m/s 高さ 44.1 m から落として地面に着くまで：44.1 ＝ ½ × 9.8 × t² → t² ＝ 9.0 → t ＝ 3.0 秒
3. 鉛直投げ上げ ── 上向き正、a ＝ −g
ここまでできれば十分
初速度 v₀ で真上に投げる。上向きを正として a ＝ −g：
| 公式 | 内容 |
|---|---|
| v ＝ v₀ − gt | 速度（上向き正。負になったら落下中） |
| y ＝ v₀t − ½gt² | 投げた点からの高さ |
| v² − v₀² ＝ −2gy | 高さ y での速さ |
典型の 3 つの条件：
| 場面 | 条件 | 結果 |
|---|---|---|
| 最高点 | v ＝ 0 | 到達時間 t ＝ v₀/g、最高点の高さ H ＝ v₀²/(2g) |
| 元の高さに戻る | y ＝ 0 | t ＝ 2v₀/g（上がる時間の 2 倍）、戻ったときの速さは v₀（向きは下） |
| 高さ h の点を通る | y ＝ h | 2 回通る（上がるときと下りるとき） |
v₀ ＝ 19.6 m/s で投げ上げ（g ＝ 9.8）：最高点まで 2.0 秒、高さ 19.6 m、戻るまで 4.0 秒 対称性：上がる時間 ＝ 下りる時間、同じ高さでは速さが同じ（向きは逆）
4. 鉛直投げ下ろし ── 下向き正、a ＝ ＋g
初速度 v₀ で真下に投げる。下向きを正として：v ＝ v₀ ＋ gt、y ＝ v₀t ＋ ½gt²
5.0 m/s で投げ下ろし、2.0 秒後：v ＝ 5.0 ＋ 19.6 ＝ 24.6 m/s、y ＝ 10 ＋ 19.6 ＝ 29.6 m
5. 解く手順と符号のルール
- 正の向きを決める：投げ上げなら上向き正（a ＝ −g）、落下・投げ下ろしなら下向き正（a ＝ ＋g）が楽
- 原点を投げた点（または手を放した点）にする
- 条件を式にする：最高点 → v ＝ 0、元の高さ → y ＝ 0、地面 → y ＝ −h（上向き正で高さ h から投げた場合）
- 3 公式のうち、不要な量を含まないものを選ぶ
- 2 物体が出会う → 同じ時刻に 同じ位置（y が等しい）
高さ 40 m の崖から 10 m/s で投げ上げ（上向き正、g ＝ 10）、地面に着く時刻：−40 ＝ 10t − 5t² → t² − 2t − 8 ＝ 0 → (t − 4)(t ＋ 2) ＝ 0 → t ＝ 4.0 秒
6. よくある間違い
- 上向き正なのに a ＝ ＋g で計算する（投げ上げは a ＝ −g）
- 最高点で「加速度も 0」と思う（速度は 0 だが加速度は −g のまま）
- 「重い物体のほうが速く落ちる」（空気抵抗なしなら同じ）
- 戻ってくる時間を最高点までの時間と同じにする（2 倍）
- y ＝ ½gt² の ½ を忘れる
- 高さ h から投げた物体が地面に着く条件を y ＝ 0 にする（y ＝ −h）
7. 自己チェック
- g は質量によらず 9.8 m/s² で、向きは下向きと言えるか
- 自由落下の 3 公式を書けるか
- 投げ上げで最高点は v ＝ 0、元の高さは y ＝ 0 と式にできるか
- 最高点の高さ v₀²/(2g)、戻る時間 2v₀/g を導けるか
- 上向き正・下向き正で a の符号を変えられるか
8. 小テストへ
→ 小テスト（pb-02）
関連する単元
- 前提：pb-01 速度と加速度、h1-01 二次方程式（t の 2 次式）
- 次に進む：pb-04 運動の法則（重力 mg）、pb-06 力学的エネルギー保存（最高点の高さを別の方法で）
- ここで使う考え方が出てくる：pb-03 力のつり合い
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 理科編 理数編』── 「物理基礎」(1) ア 運動の表し方（落体の運動）
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/science/pb-02/ ／ 更新 2026-09-12