高1 ／ 物理基礎 ／ pb-06
仕事と力学的エネルギー（保存則）
この単元でできるようになること
- 仕事 W ＝ Fx cosθ（J）と仕事率 P ＝ W/t（W）を計算できる
- 運動エネルギー ½mv²、重力による位置エネルギー mgh、弾性力による位置エネルギー ½kx² を使える
- 仕事と運動エネルギーの関係（された仕事 ＝ 運動エネルギーの変化）を使える
- 保存則（摩擦や空気抵抗がないとき）で、速さ・高さ・ばねの縮みを求められる
- 摩擦があるときは「失われた力学的エネルギー ＝ 摩擦力がした負の仕事」と立てられる
入試での位置づけ
エネルギーは物理基礎の最頻出で、共通テストでは「ジェットコースター・振り子・ばね」で保存則を使って速さや高さを求める問題がほぼ毎年出ます。運動方程式（pb-04）で解ける問題も、途中の経路が複雑なら保存則のほうが速い。摩擦がある場合の「熱として失われる分」まで扱えると、応用問題にも対応できます。
1. 仕事と仕事率
まずここだけ
仕事 W ＝ F × x × cosθ（F：力、x：移動距離、θ：力と移動の向きのなす角） 単位 J（ジュール）＝ N·m
| 力と移動の向き | 仕事 |
|---|---|
| 同じ向き（θ ＝ 0°） | W ＝ Fx（正の仕事） |
| 垂直（θ ＝ 90°） | W ＝ 0（垂直抗力・水平移動での重力） |
| 逆向き（θ ＝ 180°） | W ＝ −Fx（負の仕事：摩擦力・減速させる力） |
10 N で 5.0 m 引く：50 J。10 kg を 2.0 m 持ち上げる：98 × 2.0 ＝ 196 J（重力に逆らう仕事 ＝ mgh） 仕事の原理：道具（斜面・滑車・てこ）を使っても仕事の量は変わらない（力が半分なら距離は 2 倍）
仕事率 P ＝ W/t 単位 W（ワット）＝ J/s。P ＝ Fv（一定の速さ v で力 F を加えるとき）
196 J の仕事を 4.0 秒でする：49 W
2. 運動エネルギーと位置エネルギー
まずここだけ
| エネルギー | 式 | 基準 |
|---|---|---|
| 運動エネルギー K | ½mv² | v ＝ 0 で 0 |
| 重力による位置エネルギー U | mgh | 基準の高さ（h ＝ 0）を自分で決める。基準より下なら負 |
| 弾性力による位置エネルギー U | ½kx² | 自然長で 0（x は伸び・縮み） |
2.0 kg が 3.0 m/s：K ＝ ½ × 2.0 × 9.0 ＝ 9.0 J 2.0 kg が高さ 5.0 m：U ＝ 2.0 × 9.8 × 5.0 ＝ 98 J ばね定数 100 N/m を 0.20 m 縮める：U ＝ ½ × 100 × 0.040 ＝ 2.0 J
速さが 2 倍なら運動エネルギーは 4 倍（v² に比例）。
3. 仕事と運動エネルギーの関係
ここまでできれば十分
物体がされた仕事（合力の仕事）＝ 運動エネルギーの変化 W ＝ ½mv² − ½mv₀²
静止していた 2.0 kg の物体に 10 N を 4.0 m 加える：W ＝ 40 J ＝ ½ × 2.0 × v² → v ＝ 6.3 m/s 20 m/s の 1000 kg の車がブレーキで止まる：摩擦のした仕事 ＝ 0 − ½ × 1000 × 400 ＝ −2.0 × 10⁵ J
これは pb-01 の v² − v₀² ＝ 2ax に m/2 をかけたもの。
4. 力学的エネルギー保存則
まずここだけ
摩擦や空気抵抗がなく、重力・弾性力だけが仕事をするとき： ½mv² ＋ mgh（＋ ½kx²）＝ 一定
使い方：始めの状態と終わりの状態で「K ＋ U」を等しいとおく。途中の経路は関係ない。
高さ h から静かに滑り下りる（なめらか）：0 ＋ mgh ＝ ½mv² ＋ 0 → v ＝ √(2gh)（質量によらない） h ＝ 4.9 m なら v ＝ √(2 × 9.8 × 4.9) ＝ 9.8 m/s 振り子：最下点の速さ v ＝ √(2gh)（h は最高点と最下点の高さの差） ばね（k ＝ 200 N/m）を 0.10 m 縮めて 0.50 kg の球を打ち出す（水平）：½ × 200 × 0.010 ＝ ½ × 0.50 × v² → v ＝ 2.0 m/s 投げ上げの最高点：½mv₀² ＝ mgH → H ＝ v₀²/(2g)（pb-02 と同じ結果）
5. 摩擦があるとき ── 失われた分は熱
ここまでできれば十分
摩擦力（動摩擦力 f ＝ μ′N）が距離 x の間にする仕事は −fx。 （あとの力学的エネルギー）＝（前の力学的エネルギー）− fx
10 m/s で滑り出した物体が粗い水平面で止まるまでの距離（μ′ ＝ 0.25、g ＝ 10）： ½mv² ＝ μ′mg x → x ＝ v²/(2μ′g) ＝ 100/(2 × 0.25 × 10) ＝ 20 m 失われた力学的エネルギーは熱（や音）になる。エネルギー全体としては保存（pb-07・pb-11）。
6. 解く手順
- 「摩擦・空気抵抗があるか」を確認 → なければ保存則、あれば「保存則 − 摩擦の仕事」
- 基準の高さを決める（最下点を 0 にすると楽）
- 始めと終わりの状態を選ぶ（速さや高さがわかっている点と、求めたい点）
- K ＋ U ＝ K′ ＋ U′ を書く
- 質量 m が両辺に残るなら消せる（v ＝ √(2gh) の形）
7. よくある間違い
- 垂直抗力や糸の張力が仕事をすると思う（移動と垂直 → 仕事 0）
- 運動エネルギーの ½ を忘れる、v を 2 乗し忘れる
- 位置エネルギーの基準をあいまいにして高さを間違える
- 摩擦があるのに保存則をそのまま使う
- 「速さ 2 倍 → 運動エネルギー 2 倍」（4 倍）
- 仕事率と仕事を混同する（P ＝ W/t）
8. 自己チェック
- W ＝ Fx cosθ で、垂直なら 0、逆向きなら負と言えるか
- ½mv²・mgh・½kx² を書けるか
- 「された仕事 ＝ 運動エネルギーの変化」を使えるか
- 保存則を「始め ＝ 終わり」で立て、v ＝ √(2gh) を導けるか
- 摩擦があるときは −fx を引く、と言えるか
9. 小テストへ
→ 小テスト（pb-06）
関連する単元
- 前提：pb-01〜pb-05、s3-02 仕事とエネルギー（中学）
- 次に進む：pb-07 熱と温度（熱の仕事当量）、pb-11 エネルギーの利用
- ここで使う考え方が出てくる：pb-08 波（エネルギーの伝わり）
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 理科編 理数編』── 「物理基礎」(1) ウ 力学的エネルギー
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.pages.dev/daigaku/science/pb-06/ ／ 更新 2026-09-12